{"id":131,"date":"2022-08-25T22:13:27","date_gmt":"2022-08-25T22:13:27","guid":{"rendered":"https:\/\/victortercero.com\/?p=131"},"modified":"2023-03-30T22:11:02","modified_gmt":"2023-03-30T22:11:02","slug":"capacidad-de-procesos-y-el-estado-de-control","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/victortercero.com\/index.php\/2022\/08\/25\/capacidad-de-procesos-y-el-estado-de-control\/","title":{"rendered":"Capacidad de Procesos y el Estado de Control"},"content":{"rendered":"\n

Una funci\u00f3n elemental del ingeniero de calidad es la medici\u00f3n la capacidad de procesos. Esto es, una medici\u00f3n de lo que el proceso puede dar bajo ciertas condiciones. Su conocimiento es fundamental para establecer planes de producci\u00f3n, contratos con clientes, acuerdos con proveedores, y es un indicador \u00fatil para guiar los esfuerzos de mejora. Sin embargo, no es inusual encontrar empresas, algunas de clase mundial, donde los reportes de capacidad no corresponden realmente a una medici\u00f3n de capacidad.<\/p>\n\n\n\n

En este art\u00edculo discuto brevemente el concepto de capacidad, desde su origen hist\u00f3rico hasta sus usos modernos. Prestamos especial atenci\u00f3n a las condiciones necesarias para una correcta medici\u00f3n de capacidad. Continuamos con la discusi\u00f3n de algunas mediciones tradicionales para observaciones variables como lo son el \"$C_p$\" o el \"$C_{pk}$\", y cerramos con algunas alternativas \u00fatiles para medir la capacidad en procesos cuyas mediciones son cualitativas o de atributos.<\/p>\n\n\n\n

El concepto de capacidad de procesos<\/h2>\n\n\n\n

Tras realizar una investigaci\u00f3n sobre nuevas formas para medir la capacidad de procesos en Salazar-Alvarez, Temblador-P\u00e9rez, Conover, Tercero-G\u00f3mez, Cordero-Franco y Beruvides (2016)<\/a>, encontramos que el origen del concepto de capacidad junto a sus m\u00e9tricas es particularmente difuso. En una recapitulaci\u00f3n de hechos, Rodriguez (1992)<\/a> menciona que las t\u00e9cnicas para analizar la capacidad se han venido usando desde los a\u00f1os 80. Como ejemplo de esto vemos que Kane (1986)<\/a>, al introducir los \u00edndices de capacidad \"$C_p$\" y \"$C_{pk}$\", populares hasta el d\u00eda de hoy, no duda en indicar que estos ya eran utilizados en distintas compa\u00f1\u00edas de Jap\u00f3n y la industria automotriz de los Estados Unidos. Desde entonces han sido muchos los que abogan por el concepto de capacidad y su medici\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

Entre los promotores de este concepto encontramos a Frank M. Gryna, quien en el manual de calidad de Jur\u00e1n ofrece una breve pero a la vez completa definici\u00f3n de este concepto:<\/p>\n\n\n\n

\n

\u00abLa capacidad de un proceso<\/strong> es la medida de la reproducibilidad inherente de la producci\u00f3n de un proceso\u00bb <\/p>\nFrank M. Gryna (1999, p.22.11)<\/a><\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

En otras palabras, a lo mejor un poco m\u00e1s relacionadas con la jerga del ingeniero de calidad, podemos decir que la capacidad de un proceso es una medida del rendimiento que tiene un proceso, pero cuando este se encuentra en un estado de control<\/em>. En un art\u00edculo anterior<\/a> ya hab\u00edamos visto lo que significa estar en estado de control y la relaci\u00f3n con ser predecible (o reproducible). As\u00ed, podemos decir que una medida de capacidad de un proceso es una medida de rendimiento, pero no todas las medidas de rendimiento son medidas de capacidad, pues no todas las medidas de rendimiento corresponden a un proceso bajo control.<\/p>\n\n\n\n

Capacidad de procesos para observaciones variables<\/h2>\n\n\n\n

\u00cdndices de capacidad de procesos<\/h3>\n\n\n\n

Para lidiar con procesos cuyas mediciones son cuantitativas, independientes, normales y en estado de control, Kane (1986)<\/a> propone usar<\/p>\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"<\/p>\n\n\n\n

Aqu\u00ed, \"LSE\" y \"LIE\" corresponden al l\u00edmite superior de especificaci\u00f3n<\/em> y al l\u00edmite inferior de especificaci\u00f3n<\/em>, respectivamente.<\/p>\n\n\n\n

De estas medidas, el \"C_{pk}\" es la m\u00e1s importante, pues considera la falta de alineaci\u00f3n que pueda haber entre la media del proceso y el centro de las especificaciones. El \"C_{p}\" se limita a comparar la tolerancia esperada por el cliente (numerador) con la tolerancia natural del proceso (denominador), independientemente del centrado que pueda tener el proceso. El \"C_{pu}\" y el \"C_{pl}\" son \u00fatiles para el c\u00e1lculo del \"C_{pk}\" y ayudan a identificar si el proceso tiene un mejor desempe\u00f1o cumpliendo el l\u00edmite superior de especificaci\u00f3n, \"C_{pu}\" , o el inferior, \"C_{pl}\".<\/p>\n\n\n\n

Estimaciones de la media<\/h3>\n\n\n\n

Como se puede observar, para el c\u00e1lculo de estos \u00edndices se requiere conocer la media del proceso, \"\mu\" , y su desviaci\u00f3n est\u00e1ndar, \"\sigma\" del proceso bajo control. En la pr\u00e1ctica estos valores no se conocen y deben ser estimados. Para estimar la media usamos<\/p>\n\n\n

(1) <\/span>   <\/span>\"<\/p>\n\n\n\n

Esto es, el promedio de todas nuestras observaviones hist\u00f3ricas en control que corresponden al estado actual del proceso que estamos estudiando. \"X_i\" se refiere a las observaciones individuales, con su \u00edndice \"i\" correspondiente, y \"N\" es el total de observaciones usadas en los c\u00e1lculos. El acento ^ sobre el nombre del par\u00e1metro \"\mu\" es s\u00f3lo una conveniencia usada en estad\u00edstica para denotar que se trata de un estimador del par\u00e1metro.<\/p>\n\n\n\n

Estimaciones de la desviaci\u00f3n est\u00e1ndar<\/h3>\n\n\n\n

Para estimar la desviaci\u00f3n est\u00e1ndar existen varias opciones. Si contamos con un conjunto de datos que sabemos se encuentran en control, podemos usar la desviaci\u00f3n est\u00e1ndar muestral<\/p>\n\n\n

(2) <\/span>   <\/span>\"<\/p>\n\n\n\n

\"\bar{X}\" es el promedio de nuestras observaciones y sigue la misma ecuaci\u00f3n que usamos para \"\hat{\mu}\". En libros de texto de estad\u00edstica encontraremos al estad\u00edstico \"\hat{\sigma}_1\" con el nombre de \"s\" .<\/p>\n\n\n\n

Este estimador de la desviaci\u00f3n tiene propiedades interesantes, como que es insesgado. Es decir, en promedio, de repetir las mediciones muchas veces, este estimador nos ofrece exactamente el valor de la desviaci\u00f3n est\u00e1ndar que buscamos. Sin embargo, si nuestro proceso no est\u00e1 bajo control, la estimaci\u00f3n de la viabilidad puede ser mayor a la que corresponde al proceso en control.<\/p>\n\n\n\n

Si no tenemos certeza que el conjunto de datos que usamos para estimar la capacidad est\u00e1n bajo control, entonces tenemos la opci\u00f3n de usar alg\u00fan estimador que sea robusto a problemas en esta condici\u00f3n. Entre las opciones, el estimador propuesto por Shewhart para usarse en cartas de control<\/p>\n\n\n

(3) <\/span>   <\/span>\"<\/p>\n\n\n\n

ha encontrado mucho eco en la pr\u00e1ctica por ser relativamente insensible a la presencia de causas asignables de variaci\u00f3n que afectan la media de los procesos. Esta es una condici\u00f3n com\u00fan de falta de control, por lo que el estimador \"\hat{\sigma}_2\" nos mitiga el efecto indeseable.<\/p>\n\n\n\n

Para la estimaci\u00f3n de \"\hat{\sigma}_2\" requerimos de dos elementos, \"\bar{R}\" y \"d_2\" . \"R\" es el rango de nuestros grupo datos, es decir, la medici\u00f3n m\u00e1s grande menos la m\u00e1s peque\u00f1a. Si nuestros datos se encuentran divididos en subgrupos \"\bar{R}\" ser\u00e1 el promedio de los rangos calculados de cada subgrupo. Si nuestros datos est\u00e1n contenidos en un solo grupo, \"\bar{R} = R\" . Claro, en caso de tener un solo subgrupo, posiblemente es mejor utilizar la desviaci\u00f3n est\u00e1ndar muestral. Si nuestros subgrupos de tama\u00f1o constante \"n\" se encuentran en el rango de 2 a 10 observaciones, podemos usar las constantes \"d_2\" presentadas en la Tabla 1. La raz\u00f3n de tener valores hasta \"n=10\" se debe a que para valores mayores a 10 la estimaci\u00f3n mediante el rango deja de considerarse eficiente, en t\u00e9rminos de error, en relaci\u00f3n a la desviaci\u00f3n est\u00e1ndar muestral. Entre las alternativas para subgrupos grandes est\u00e1 la desviaci\u00f3n est\u00e1ndar promedio, con su correspondiente corrector de sesgo, y la ra\u00edz cuadrada de la varianza ponderada. Para m\u00e1s detalle sobre estas \u00faltimas alternativas puedes consultar Montgomery (2020)<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

\"n\"<\/td>2<\/td>3<\/td>4<\/td>5<\/td>6<\/td>7<\/td>8<\/td>9<\/td>10<\/td><\/tr>
\"d_2\"<\/td>1.128<\/td>1.693<\/td>2.059<\/td>2.326<\/td>2.534<\/td>2.704<\/td>2.847<\/td>2.970<\/td>3.078<\/td><\/tr><\/tbody><\/table>
Tabla 1. Constantes \"d_2\" (tomado de Montgomery, 2020<\/a>)<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

\u00cdndices \"$C_p$\" vs \"$P_p$\" <\/h3>\n\n\n\n

Dado que en muchas situaciones pr\u00e1cticas es dif\u00edcil tener certeza sobre el estado de control de nuestro proceso, se prefiere estimar el \"$C_p$\" y \"$C_{pk}$\" usando estimadores de la variaci\u00f3n promedio dentro de los subgrupos, como es el caso del estimador basado en rangos. Cuando se usan estimadores basados en la variaci\u00f3n global o total de todos los subgrupos, juntas las observaciones como uno solo grupo, muchos autores hacen la distinci\u00f3n y cambian de nombre los \u00edndices a \"$P_p$\" y \"$P_{pk}$\", correspondientemente. Por ejemplo, este es el caso de Minitab<\/a>, donde el \"$P_p$\" y el \"$P_{pk}$\" estar\u00edan representando la capacidad global del proceso. Sin embargo, autores como Montgomery (2020)<\/a> critican su uso por el riesgo de ser mediciones contaminadas por problemas de control, en cuyo caso el concepto de capacidad carecer\u00eda de sentido como medida de lo que se puede esperar del proceso en el futuro.<\/p>\n\n\n\n

Recomendaciones pr\u00e1cticas<\/h3>\n\n\n\n

Para efectos pr\u00e1cticos, sigue la siguientes recomendaciones:<\/p>\n\n\n\n