{"id":883,"date":"2026-08-11T19:30:41","date_gmt":"2026-08-12T01:30:41","guid":{"rendered":"https:\/\/victortercero.com\/?p=883"},"modified":"2026-08-11T22:23:47","modified_gmt":"2026-08-12T04:23:47","slug":"la-distancia-de-mahalanobis-el-secreto-de-la-intuicion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/victortercero.com\/index.php\/2026\/08\/11\/la-distancia-de-mahalanobis-el-secreto-de-la-intuicion\/","title":{"rendered":"La Distancia de Mahalanobis: El Secreto de la Intuici\u00f3n"},"content":{"rendered":"\n

1. \u00bfQu\u00e9 es la distancia de Mahalanobis?<\/h2>\n\n\n\n

La distancia de Mahala<\/strong>nobis<\/strong> es, valga la redundancia, una medida de distancia entre un punto y un centro de masa en un espacio multivariado. Es la base para determinar qu\u00e9 tan t\u00edpica o at\u00edpica es una observaci\u00f3n compuesta de muchas dimensiones, y es el coraz\u00f3n de un gran n\u00famero de cartas de control multivariadas, empezando por las que iniciaron el movimiento del control multivariado: las conocidas \u03c7<\/mi>2<\/mn><\/msup>\\chi^2<\/annotation><\/semantics><\/math> y T<\/mi>2<\/mn><\/msup>T^2<\/annotation><\/semantics><\/math> de Hotelling.<\/p>\n\n\n\n

La distancia de Mahalanobis mide una distancia en un espacio multivariado estandarizado, donde la variabilidad de los datos se homogeniza en todas las direcciones alrededor del centro de masa analizado. Este centro de masa se define por un vector de medias. Y la homogenizaci\u00f3n ocurre aplicando una transformaci\u00f3n que \u00abelimina\u00bb de forma ingeniosa las correlaciones y estandariza las dimensiones, de tal forma que todas las direcciones alrededor del centro de masa son comparables entre s\u00ed. Matem\u00e1ticamente la distancia de Mahalanobis se define como<\/p>\n\n\n\n

D<\/mi>=<\/mo>(<\/mo>\ud835\udc31<\/mi>\u2212<\/mo>\ud835\udecd<\/mi>)<\/mo>\u22a4<\/mi><\/msup>\ud835\udeba<\/mi>\u2212<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msup>(<\/mo>\ud835\udc31<\/mi>\u2212<\/mo>\ud835\udecd<\/mi>)<\/mo><\/mrow><\/msqrt>,<\/mo><\/mrow>D=\\sqrt{(\\mathbf{x}-\\mathbf{\\mu})^\\top \\mathbf{\\Sigma}^{-1}(\\mathbf{x}-\\mathbf{\\mu})},<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

donde \ud835\udc31<\/mi>\\mathbf{x}<\/annotation><\/semantics><\/math> es una observaci\u00f3n en forma de vector, \ud835\udecd<\/mi>\\mathbf{\\mu}<\/annotation><\/semantics><\/math> es el vector de medias, y \ud835\udeba<\/mi>\\mathbf{\\Sigma}<\/annotation><\/semantics><\/math> es la matriz de varianza-covarianza.<\/p>\n\n\n\n

La distancia de Mahalanobis determina qu\u00e9 tan lejos est\u00e1 un punto del centro de masa, expresando esta separaci\u00f3n en una escala estandarizada<\/strong>. En el caso univariado, esta idea es equivalente al valor absoluto de la estandarizaci\u00f3n<\/p>\n\n\n\n

|<\/mi>z<\/mi>|<\/mi>=<\/mo>|<\/mo>x<\/mi>\u2212<\/mo>\u03bc<\/mi><\/mrow>\u03c3<\/mi><\/mfrac>|<\/mo><\/mrow>,<\/mo><\/mrow>|z|=\\left|\\frac{x-\\mu}{\\sigma} \\right|,<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

En el caso multivariado, la distancia de Mahalanobis extiende esta idea considerando simult\u00e1neamente la variabilidad y correlaci\u00f3n entre todas las variables. Es m\u00e1s, si reducimos nuestro problema a una sola dimensi\u00f3n, la distancia de Mahalanobis se convierte en el absoluto de la distancia z<\/mi>z<\/annotation><\/semantics><\/math>.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

1.1 \u00bfQu\u00e9 encontraremos en el resto de este art\u00edculo?<\/h3>\n\n\n\n

El secreto para entender la distancia de Mahalanobis se encuentra en la utilizaci\u00f3n ingeniosa de un conjunto de conceptos que vimos en un art\u00edculo anterior, el an\u00e1lisis de componentes principales (ACP)<\/a>. Para entender estas conexiones, recorreremos en las siguientes secciones el mundo de las distancias estandarizadas, partiendo de la conocida distancia |<\/mi>z<\/mi>|<\/mi><\/mrow>|z|<\/annotation><\/semantics><\/math> .<\/p>\n\n\n\n

Luego derivaremos en pasos intuitivos e ilustrados la distancia de Mahalanobis hasta obtener su forma conocida. Evaluaremos qu\u00e9 sucede con esta distancia cuando podemos asumir que nuestras observaciones siguen una distribuci\u00f3n normal multivariada conocida. Y finalmente, aterrizaremos todos estos conceptos en una aplicaci\u00f3n para evaluar puntos at\u00edpicos.<\/p>\n\n\n\n

Todo esto y m\u00e1s, a continuaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

2. Midamos distancias<\/h2>\n\n\n\n

2.1 \u00bfQu\u00e9 Problema Estamos Resolviendo?<\/h3>\n\n\n\n

Estamos resolviendo el problema de medir la distancia entre una observaci\u00f3n y el valor medio de una poblaci\u00f3n de inter\u00e9s. Por ejemplo:<\/p>\n\n\n\n

    \n
  1. Caso univariado<\/em>: En un proceso de llenado, queremos saber qu\u00e9 tan alejada, o rara, es una medici\u00f3n de 135 gramos en un proceso que usualmente produce 100 gramos de media con una desviaci\u00f3n est\u00e1ndar de 10 gramos.<\/li>\n\n\n\n
  2. Caso multivariado<\/em>: En un proceso de cocci\u00f3n, \u00bfqu\u00e9 tan extra\u00f1o es terminar con una humedad interna de 30% en un horno que trabaj\u00f3 a una temperatura de 210\u00b0C en un contexto donde de media se trabaja con 35% de humedad y 200\u00b0C de temperatura, y con desviaciones de 2% y 5\u00b0C, respectivamente?<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

    Revisaremos primero el contexto univariado para entender los conceptos subyacentes. Luego tomaremos estos conceptos y los trasladaremos a una situaci\u00f3n donde tenemos m\u00e1s de una medici\u00f3n sobre un mismo objeto, es decir, el caso multivariado.<\/p>\n\n\n\n

    2.2 Una Distancia Univariada: la distancia Z<\/h3>\n\n\n\n

    Vamos a recordar un poco a la distribuci\u00f3n normal y c\u00f3mo est\u00e1 agrupada una poblaci\u00f3n que sigue este patr\u00f3n. No todas las variables siguen una distribuci\u00f3n normal, pero entender la variabilidad de la distribuci\u00f3n normal y su relaci\u00f3n con medidas de distancia nos ayuda a crear una imagen mental que luego podemos extrapolar.<\/p>\n\n\n\n

    Iniciamos definiendo la media de la poblaci\u00f3n como \u03bc<\/mi>\\mu<\/annotation><\/semantics><\/math> y su desviaci\u00f3n est\u00e1ndar como \u03c3<\/mi>\\sigma<\/annotation><\/semantics><\/math> . Utilizando un enfoque gr\u00e1fico que nos ayuda a ir desarrollando nuestra intuici\u00f3n estad\u00edstica, en la Figura 1 observamos c\u00f3mo un intervalo que est\u00e1 entre m\u00e1s o menos una desviaci\u00f3n est\u00e1ndar de la media contiene el 68.3% de la poblaci\u00f3n. M\u00e1s o menos dos desviaciones de la media contiene el 95.4% de la poblaci\u00f3n. Y m\u00e1s o menos tres desviaciones de la media contiene casi todo, el 99.7% de la poblaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
    \"\"
    Figura 1. Distribuci\u00f3n normal y la proporci\u00f3n de la distribuci\u00f3n que cubren los intervalos de 1, 2 y 3 desviaciones est\u00e1ndar alrededor de la media<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

    De esta manera aprendemos que en una poblaci\u00f3n con distribuci\u00f3n normal, se espera que la mayor parte de lo que observemos se encuentre entre m\u00e1s o menos dos desviaciones de la media. Mientras que observaciones m\u00e1s all\u00e1 de tres desviaciones est\u00e1ndar de la media son raras, al punto de poder sospechar que una observaci\u00f3n de esta magnitud en realidad no pertenece al grupo con que la estamos comparando.<\/p>\n\n\n\n

    Poder identificar qu\u00e9 tan alejada o cercana se encuentra una observaci\u00f3n del centro de variabilidad de la poblaci\u00f3n nos da un indicio de qu\u00e9 tan veros\u00edmil es dicha observaci\u00f3n en relaci\u00f3n al grupo o poblaci\u00f3n. Para medir correctamente esta cercan\u00eda o alejamiento del grupo no basta con conocer la distancia al centro de la poblaci\u00f3n. Necesitamos conocer el grado de variabilidad.<\/p>\n\n\n\n

    Analicemos el caso de una observaci\u00f3n de 135 gramos en un proceso de llenado. En la Figura 2 vemos esta observaci\u00f3n marcada como x<\/mi>\u2217<\/mo><\/msup>=<\/mo>135<\/mn><\/mrow>x^* = 135<\/annotation><\/semantics><\/math> en dos contextos distintos. Uno, (a), donde la poblaci\u00f3n tiene una media de 100 y desviaci\u00f3n est\u00e1ndar de 5. Mientras que en (b), se tiene la misma media de (a) pero ahora la desviaci\u00f3n est\u00e1ndar es de 10.<\/p>\n\n\n\n
    \"\"
    Figura 2. Dos procesos, ambos con medias de 100 gramos arrojan una observaci\u00f3n de 135 gramos, pero (a) muestra una desviaci\u00f3n est\u00e1ndar de 5 gramos y (b) muestra una desviaci\u00f3n est\u00e1ndar de 10 gramos.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

    Es evidente que la observaci\u00f3n de 135 gramos se encuentra m\u00e1s alejada de la zona de variabilidad de la poblaci\u00f3n en la Figura 2(a) en relaci\u00f3n a la Figura 2(b). Esta percepci\u00f3n de distancia la podemos formalizar definiendo una distancia est\u00e1ndar. A esta distancia est\u00e1ndar la llamaremos |<\/mi>z<\/mi>|<\/mi><\/mrow>|z|<\/annotation><\/semantics><\/math>, y es una medida, en desviaciones est\u00e1ndar, de la distancia entre una observaci\u00f3n y el centro de la poblaci\u00f3n con que est\u00e1 siendo comparada<\/strong>. As\u00ed se define<\/p>\n\n\n\n
    |<\/mi>z<\/mi>|<\/mi>=<\/mo>|<\/mo>x<\/mi>\u2212<\/mo>\u03bc<\/mi><\/mrow>\u03c3<\/mi><\/mfrac>|<\/mo><\/mrow>.<\/mi><\/mrow><\/mtd><\/mtr><\/mtable>\\begin{align*}\n|z| = \\left| \\frac{x-\\mu}{\\sigma} \\right|.\n\\end{align*} <\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    En la pr\u00e1ctica, podemos dejar el signo de z<\/mi>z<\/annotation><\/semantics><\/math> para saber si estamos a la izquierda o derecha de la media, aunque la medida de la distancia es en s\u00ed el valor absoluto. Cuando la desviaci\u00f3n est\u00e1ndar es 5, z<\/mi>=<\/mo>(<\/mo>135<\/mn>\u2212<\/mo>100<\/mn>)<\/mo>\/<\/mi>5<\/mn>=<\/mo>7<\/mn><\/mrow>z = (135-100)\/5 = 7<\/annotation><\/semantics><\/math>. Mientras que cuando la desviaci\u00f3n est\u00e1ndar es 10 tenemos que (<\/mo>135<\/mn>\u2212<\/mo>100<\/mn>)<\/mo>\/<\/mi>10<\/mn>=<\/mo>3.5<\/mn><\/mrow> (135-100)\/10 = 3.5<\/annotation><\/semantics><\/math>. La distancia de 3.5 es menor que la distancia 7, por lo tanto la observaci\u00f3n x<\/mi>\u2217<\/mo><\/msup>=<\/mo>135<\/mn><\/mrow>x^* = 135<\/annotation><\/semantics><\/math> est\u00e1 m\u00e1s cerca, en t\u00e9rminos de desviaciones est\u00e1ndar, de la poblaci\u00f3n con desviaci\u00f3n est\u00e1ndar de 10 unidades.<\/p>\n\n\n\n

    Si nuestra variable X<\/mi>X<\/annotation><\/semantics><\/math> sigue una distribuci\u00f3n normal con media \u03bc<\/mi>\\mu<\/annotation><\/semantics><\/math> y desviaci\u00f3n \u03c3<\/mi>\\sigma<\/annotation><\/semantics><\/math>, la variable transformada z<\/mi>=<\/mo>(<\/mo>X<\/mi>\u2212<\/mo>\u03bc<\/mi>)<\/mo>\/<\/mi>\u03c3<\/mi><\/mrow>z = (X-\\mu)\/\\sigma<\/annotation><\/semantics><\/math> sigue una distribuci\u00f3n normal con media 0 y desviaci\u00f3n est\u00e1ndar de 1. A la distribuci\u00f3n de la transformaci\u00f3n z<\/mi>z<\/annotation><\/semantics><\/math> se le conoce como la distribuci\u00f3n normal est\u00e1ndar.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Todas las poblaciones normales las podemos reducir a normales est\u00e1ndar al hacer la transformaci\u00f3n z<\/mi>z<\/annotation><\/semantics><\/math>,<\/strong> tal que esta distribuci\u00f3n est\u00e1ndar sirve como referencia \u00fanica para comparar las distancias, en t\u00e9rminos de desviaciones est\u00e1ndar, entre las observaciones de distintas poblaciones normales hacia el centro de la poblaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

    En la Figura 3 observamos visualmente a la distribuci\u00f3n normal est\u00e1ndar, y para ilustrar la magnitud de las mediciones efectuadas, colocamos las dos estandarizaciones del valor de 135 gramos: una con una desviaci\u00f3n est\u00e1ndar de 10 y otra de 5, mostradas como z<\/mi>(<\/mo>\u03c3<\/mi>=<\/mo>10<\/mn>)<\/mo><\/mrow><\/msub>z_{(\\sigma=10)}<\/annotation><\/semantics><\/math> y z<\/mi>(<\/mo>\u03c3<\/mi>=<\/mo>5<\/mn>)<\/mo><\/mrow><\/msub>z_{(\\sigma=5)}<\/annotation><\/semantics><\/math> respectivamente.<\/p>\n\n\n\n
    \"\"
    Figura 3. Vista de la observaci\u00f3n x<\/mi>=<\/mo>135<\/mn><\/mrow>x = 135<\/annotation><\/semantics><\/math> en sus formas estandarizadas cuando la desviaci\u00f3n est\u00e1ndar del proceso es 10, z<\/mi>(<\/mo>\u03c3<\/mi>=<\/mo>10<\/mn>)<\/mo><\/mrow><\/msub>z_{(\\sigma=10)}<\/annotation><\/semantics><\/math>, vs cuando es 5, z<\/mi>(<\/mo>\u03c3<\/mi>=<\/mo>5<\/mn>)<\/mo><\/mrow><\/msub>z_{(\\sigma=5)}<\/annotation><\/semantics><\/math>. La misma x<\/mi>x<\/annotation><\/semantics><\/math>, en gramos en este caso, se encuentra m\u00e1s cerca del centro de masa de la poblaci\u00f3n con mayor desviaci\u00f3n est\u00e1ndar cuando contamos a cu\u00e1ntas desviaciones est\u00e1ndar se encuentra la observaci\u00f3n del valor de la media poblacional.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

    La estandarizaci\u00f3n que sigue la transformaci\u00f3n z<\/mi>z<\/annotation><\/semantics><\/math> simplifica la comparaci\u00f3n al colocar en una misma escala poblaciones de distinta variabilidad cuando lo que nos interesa saber es qu\u00e9 tan cercana es una observaci\u00f3n a las zonas que concentran la mayor variabilidad de la poblaci\u00f3n. Y si esta poblaci\u00f3n tiene una distribuci\u00f3n conocida, como la normal en la Figura 1, podemos asociar estas distancias a probabilidades.<\/p>\n\n\n\n

    Para el caso de la distribuci\u00f3n normal formalmente escribimos<\/p>\n\n\n\n

    Z<\/mi>=<\/mo>X<\/mi>\u2212<\/mo>\u03bc<\/mi><\/mrow>\u03c3<\/mi><\/mfrac>\u223c<\/mo>N<\/mi>(<\/mo>0,1<\/mn>)<\/mo>,<\/mo><\/mrow><\/mtd><\/mtr><\/mtable>\\begin{align*}\nZ = \\frac{X-\\mu}{\\sigma} \\sim N(0,1),\n\\end{align*}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    donde el signo \u223c<\/mo>\\sim<\/annotation><\/semantics><\/math> se lee \u00abse distribuye como\u00bb. Y N<\/mi>(<\/mo>0,1<\/mn>)<\/mo><\/mrow>N(0,1)<\/annotation><\/semantics><\/math> es la expresi\u00f3n para decir que estamos frente a una distribuci\u00f3n normal con media 0 y varianza 1. Si la varianza es \u03c3<\/mi>2<\/mn><\/msup>=<\/mo>1<\/mn><\/mrow>\\sigma^2=1<\/annotation><\/semantics><\/math>, entonces la desviaci\u00f3n est\u00e1ndar es \u03c3<\/mi>=<\/mo>1<\/mn><\/mrow>\\sigma=1<\/annotation><\/semantics><\/math>.<\/p>\n\n\n\n

    Cuando nuestras observaciones incluyen m\u00e1s de una dimensi\u00f3n todav\u00eda podemos seguir usando transformaciones univariadas para el an\u00e1lisis individual, pero el an\u00e1lisis del conjunto se dificulta, pues con dos o m\u00e1s variables aparece un nuevo elemento: la correlaci\u00f3n. Y con la correlaci\u00f3n, algunos comportamientos se pueden enmascarar para nuestro detrimento. Necesitamos una distancia multivariada que considere este nuevo elemento.<\/p>\n\n\n\n

    2.3 Una distancia multivariada: la distancia de Mahalanobis<\/h3>\n\n\n\n

    Para ilustrar el concepto de la distancia de Mahalanobis y c\u00f3mo se calcula, usar\u00e9 como referencia un proceso de monitoreo de harina de ma\u00edz nixtamalizada.<\/p>\n\n\n\n

    Ejemplo de un proceso multivariado<\/h4>\n\n\n\n

    En una planta que produce harina de ma\u00edz (tortillas, botanas, cereales), es com\u00fan monitorear:<\/p>\n\n\n\n

      \n
    1. Humedad (%)<\/strong>: afecta la vida de anaquel y la textura.<\/li>\n\n\n\n
    2. pH<\/strong>: refleja calidad del proceso de nixtamalizaci\u00f3n.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

      En este proceso ilustrativo, estas dos variables est\u00e1n correlacionadas positivamente. Esto es, a mayor humedad, m\u00e1s pH. En este caso, tienen una correlaci\u00f3n moderada de 0.65. Adem\u00e1s, sabemos que hist\u00f3ricamente el % de humedad se ha mantenido en 12% con una desviaci\u00f3n est\u00e1ndar de 0.6, y el pH suele oscilar alrededor de una media de 7.8 con una desviaci\u00f3n est\u00e1ndar de 0.25.<\/p>\n\n\n\n

      Matricialmente podemos resumir los par\u00e1metros del proceso con su vector de medias<\/p>\n\n\n\n

      \ud835\udecd<\/mi>=<\/mo>[<\/mo>12<\/mn><\/mtd><\/mtr>7.8<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable>]<\/mo><\/mrow>,<\/mo><\/mrow>\\mathbf{\\mu} = \\begin{bmatrix}\n12 \\\\\n7.8 \\end{bmatrix},<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

      y su matriz de varianza-covarianza<\/p>\n\n\n\n

      \ud835\udeba<\/mi>=<\/mo>[<\/mo>0.36<\/mn><\/mtd>0.0975<\/mn><\/mtd><\/mtr>0.0975<\/mn><\/mtd>0.0625<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable>]<\/mo><\/mrow>,<\/mo><\/mrow>\\mathbf{\\Sigma} = \\begin{bmatrix}\n0.36 & 0.0975 \\\\\n0.0975 & 0.0625 \\end{bmatrix},<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

      donde los elementos de la diagonal son las varianzas y los dem\u00e1s son las covarianzas, es decir,<\/p>\n\n\n\n

      \ud835\udeba<\/mi>=<\/mo>[<\/mo>\u03c3<\/mi>1<\/mn>2<\/mn><\/msubsup><\/mtd>\u03c3<\/mi>12<\/mn><\/msub><\/mtd><\/mtr>\u03c3<\/mi>21<\/mn><\/msub><\/mtd>\u03c3<\/mi>2<\/mn>2<\/mn><\/msubsup><\/mtd><\/mtr><\/mtable>]<\/mo><\/mrow>,<\/mo><\/mrow>\\mathbf{\\Sigma} = \\begin{bmatrix}\n\\sigma^2_1 & \\sigma_{12} \\\\\n\\sigma_{21} & \\sigma^2_2 \\end{bmatrix},<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

      As\u00ed, \u03c3<\/mi>1<\/mn>2<\/mn><\/msubsup>=<\/mo>0.6<\/mn>2<\/mn><\/msup>=<\/mo>0.36<\/mn><\/mrow>\\sigma_1^2 = 0.6^2=0.36<\/annotation><\/semantics><\/math> y \u03c3<\/mi>2<\/mn>2<\/mn><\/msubsup>=<\/mo>0.25<\/mn>2<\/mn><\/msup>=<\/mo>0.0625<\/mn><\/mrow>\\sigma_2^2 = 0.25^2=0.0625<\/annotation><\/semantics><\/math>. Los dem\u00e1s elementos son las covarianzas que se pueden obtener entendiendo que la correlaci\u00f3n no es m\u00e1s que una covarianza estandarizada \u03c1<\/mi>12<\/mn><\/msub>=<\/mo>\u03c3<\/mi>12<\/mn><\/msub>\/<\/mi>(<\/mo>\u03c3<\/mi>1<\/mn><\/msub>\u03c3<\/mi>2<\/mn><\/msub>)<\/mo><\/mrow>\\rho_{12}=\\sigma_{12}\/(\\sigma_1 \\sigma_2)<\/annotation><\/semantics><\/math>. As\u00ed, siendo que la correlaci\u00f3n entre la variable 1 y la variable 2 es \u03c1<\/mi>12<\/mn><\/msub>=<\/mo>0.65<\/mn><\/mrow>\\rho_{12}=0.65<\/annotation><\/semantics><\/math> se resuelve<\/p>\n\n\n\n
      \u03c3<\/mi>12<\/mn><\/msub>=<\/mo>0.65<\/mn>\u00d7<\/mo>0.6<\/mn>\u00d7<\/mo>0.25<\/mn>=<\/mo>0.0975.<\/mn><\/mrow>\\sigma_{12} =0.65 \\times 0.6 \\times 0.25 = 0.0975.<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

      Finalmente notamos que el orden de las variables para obtener las covarianzas no importa. Esto es, \u03c3<\/mi>12<\/mn><\/msub>=<\/mo>\u03c3<\/mi>21<\/mn><\/msub><\/mrow>\\sigma_{12} = \\sigma_{21}<\/annotation><\/semantics><\/math>. De esta manera obtenemos la matriz de varianza-covarianza \ud835\udeba<\/mi>\\mathbf{\\Sigma}<\/annotation><\/semantics><\/math> anteriormente mostrada.<\/p>\n\n\n\n

      Cuando se trabaja con estad\u00edstica multivariada, es t\u00edpico expresar los par\u00e1metros de un proceso en t\u00e9rminos matriciales. Esto facilita el acomodo de la informaci\u00f3n, sobre todo cuando tenemos muchas dimensiones. Y se vuelve indispensable al momento de querer generalizar los c\u00e1lculos y demostraciones que se pudieran hacer.<\/p>\n\n\n\n

      Veamos una muestra<\/h4>\n\n\n\n

      Obtenemos 22 datos de una muestra del proceso de harina de ma\u00edz descrito anteriormente. Estos datos se observan en la Tabla 1. Nota que las observaciones 21 y 22 se han marcado como Punto A y Punto B respectivamente. Le prestaremos especial atenci\u00f3n a estos \u00faltimos puntos a lo largo de este ejercicio.<\/p>\n\n\n\n

      ID<\/th>Humedad<\/th>pH<\/th><\/tr><\/thead>
      1<\/td>12.73<\/td>7.99<\/td><\/tr>
      2<\/td>11.81<\/td>7.84<\/td><\/tr>
      3<\/td>11.33<\/td>7.68<\/td><\/tr>
      4<\/td>13.43<\/td>8.14<\/td><\/tr>
      5<\/td>11.71<\/td>7.84<\/td><\/tr>
      6<\/td>11.62<\/td>7.96<\/td><\/tr>
      7<\/td>12.37<\/td>7.80<\/td><\/tr>
      8<\/td>12.27<\/td>8.08<\/td><\/tr>
      9<\/td>12.34<\/td>7.90<\/td><\/tr>
      10<\/td>12.48<\/td>8.12<\/td><\/tr>
      11<\/td>12.34<\/td>7.69<\/td><\/tr>
      12<\/td>12.57<\/td>8.06<\/td><\/tr>
      13<\/td>12.43<\/td>8.06<\/td><\/tr>
      14<\/td>11.94<\/td>7.88<\/td><\/tr>
      15<\/td>11.34<\/td>7.91<\/td><\/tr>
      16<\/td>12.00<\/td>8.02<\/td><\/tr>
      17<\/td>12.19<\/td>8.27<\/td><\/tr>
      18<\/td>12.47<\/td>8.20<\/td><\/tr>
      19<\/td>12.49<\/td>8.00<\/td><\/tr>
      20<\/td>10.53<\/td>7.45<\/td><\/tr>
      21 (Punto A)<\/strong><\/td>13.00<\/td>8.30<\/td><\/tr>
      22 (Punto B)<\/strong><\/td>11.00<\/td>8.30<\/td><\/tr><\/tbody><\/table>
      Tabla 1. Muestra de un proceso de preparaci\u00f3n de harina nixtamalizada.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

      En la Figura 4 vemos una representaci\u00f3n de los datos de la Tabla 1 con varios adornos que la hacen particularmente interesante. En la figura podemos notar<\/p>\n\n\n\n